有理数の性質に関する定理とその系

先に紹介した、シビレル数学書「無理数と超越数」塩川宇賢/著の１ページ目に書いてある内容を紹介したいと思う。
ある有理数αがあったとして、それが整数 a, b で α = a/b（b>0）と書けたとすると、任意の有理数 p/q ≠ α に用いてこんな事が言える。

|qα – p| = |aq – bp|/b ≧ 1/bいきなり、これを見てもなんじゃこりゃ？だと思うので、説明を加えて行きたい。

上を簡単に別の書き方をすると、こうなる。簡単のために正の数にして、絶対値記号の | | も外す。今、有理数 a/b（a,bは自然数）があったとして、それより小さな有理数はどこまでa/bに近づけるか？これは式にして書き換えるとこうなる。

a/b > p/q（p,qは自然数）が前提で、ここで p,q を上手く選ぶ事によって a/b – p/q の値をどれだけ小さく出来るか？と。で、計算すると。a/b – p/q = (aq – pb)/bqここで、 aq – pb はそれぞれが自然数で等しく無い前提から、aq – pb ≧ 1 > 0 が言える。よって、a/b – p/q = (aq – pb)/bq ≧ 1/bqとなる。1/bqをbとqを分離するように変形すると、(1/b)/qとなる。これで何がいいたいのかと言うと、a/b – p/q の値はどれだけ0に近付こうとも、0までには(1/b)/qと言う隙間が出来ると言う事、しかもその隙間は q をどう選んでも b に絡んだ 1/b 部分はどうしょうもないので、この隙間は必ず発生すると言う意味になる。つまり、これを使える定理の形にまとめるとこうなる。
定理１：有理数αに対して、αのみに依存する正定数 c が存在し、不等式|α – p/q| > c/qがすべての有理数 p/q≠α（q>0）に対して成り立つ。◆
この書き方では不等号が≧でなくて > にしてあるが、これは c が存在する事に注目してこうしてある。実際、1/bより小さい正の数に c を選べばこの成立は明らかだ。で、この c が範囲を持って存在する事が今回物凄く重要なのだ！
では次にこの c が存在しない場合を考えてみよう。
上の定理は言わばこんな形をしている。
「Ａであれば必ず、Ｂが成り立つ。」
これの対偶を取ると、
「Ｂが成り立たなければ、Ａでない。」
で、Ａは何かと言えば「有理数」で、
Ｂは何かと言えば、、、これがちょっと難しいけど、こうだ。
上の式において「c を存在させないような有理数 p/q を選び出す事が出来る。」ってなる。
そして上の定理はこう書き換えられる。
系（定理１の対偶）：：実数αに対して、0 < |q_nα – p_n| → 0（n → ∞）を満たす整数列q_n, p_n（n≧0）が存在するならば、αは無理数である。◆
「αは無理数である」と本に書いてあるので写したけど、これは「αは有理数でない」と書いたほうが分かりやすいかも知れない。
意味的には最初に書いた 1/b の壁をぶち破るどころか、cをも存在させずどんどん 0 に近付く整数列q_n, p_nが作りだせた場合、αは有理数で無い実数なので、無理数であると言う主張である。これは、有理数の性質からその否定を用いて、有理数でない物を特徴付けている。スゴイ！美しい！
いやいや、スゴイと言うのはまだ早くて、ここで重要な事として本当にそんな数が見付かるのか？と言う事を確かめておかなくてはいけない。で、大変天下り的な例なと言うか、丸写しの例を挙げる。つーか、こんな上手い例が私に思い付くハズがない。
例：自然対数の底ｅは無理数である。◆
らしいよ！と言うか、これは他の方法でも証明があったと思うのだけど、これを上の定理にキッチリ当てはめて証明が出来るのだ。先ずはｅの定義から。ｅ = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … + 1/n! + …で、次のような引き算を考えると、それは必ず 0 以上の値を持つはずである。（シグマ記号が読みにくい、、、）0 < n!ｅ - n!Σ(k=0…n)1/k!Σ記号の和は、nを無限に飛ばすともちろんｅに近付くと言うか、ｅの定義に一致する。で、次に上のような和については良くやる手段なのだけど、こうする。1/1! + 1/2! + 1/3! + … + 1/n! < 1 + 1/2 + 1/2² + … + 1/2^n-1 < 2これを使うと上の差は、こう計算出来る。n!ｅ – n!Σ(k=0…n)1/k! = n!Σ(k=n+1…∞)1/k! < n!/(n+1)!Σ(k=1…∞)1/2^k = 2/(n+1)と、上限が抑えられ、これは n → ∞ とすると、0に近付く事は明らかだ。と言うワケで、上の定理にq_n = n!, p_n = n!Σ(k=0…n)1/k!を当てはめる事により、ｅが無理数である事が分かる。
で、よって実数の中に有理数以外の無理数って物がある事が確かめられた。で、これはスゴイ内容が書かれているのだけど、ちょっと今回普通の人には絶対に分からないと言うか、これを誰に読んでもらっても分かるように書くのは簡単には無理だよね。でも、これはすごいわー。って、これを頑張って紹介したワリにはこの調子だと全然ダメだね。ぐはー。
私の紹介した本には、こんなスゴイ事が1ページ目にサラッと書かれているんだよね。ここだけで内容あり過ぎ！この本、面白過ぎ！常にこんな調子みたいなんで、まだ7ページしか読めてないよ！←今回のオチ