感謝感激の誕生日

ありがとうございます。
たくさんの方から誕生日のメッセージを頂きました。
あまりにたくさんのメッセージのは言った受信箱を見た事が無かったので、
弱気にも「今日は何があったのか？私は何かやってしまったか？」
と見た瞬間思ってしまいましたが、開いてみたらすぐにまた強気に戻りました。
今年の初めの抱負として決めたように「苦手の克服」でやっていっています。
今のところなんだか全然何も克服出来ていないようですけど、
「決して時間が解決する問題でない」と肝に銘じて取り組みます。

ところで、私は今年で31歳になりました。
と言うわけでこの 31 と言う数字にどのような性格があるのか紹介していきたいと思います。
先ず、 31 は1と自分自身以外では割り切る事の出来ない素数です。
小さい方から数えて、11番目の素数です。
また特別な名前の付いた素数でもあります。
メルセンヌ素数と言い、 2ⁿ-1 の形で表す事が出来る素数です。
n=5とすれば、
2⁵-1 = 2*2*2*2*2-1 = 32 – 1 = 31
と確かめる事が出来ます。
しかし、2ⁿ-1 の形をしているからと言って、それが必ずしも素数になるとは限りません。n=6 の時は
2⁶-1 = 8²-1 = (8+1)*(8-1) = 9*7 = 63
となり、素数でなくて合成数である事が分かります。
2ⁿ-1 の形に出来る数をメルセンヌ数と言うのですが、これが素数になる条件にnが素数である事が必要と分かります。31 の時はn=5でした、5はもちろん素数です。それでは2³¹-1を考えるとどうでしょうか？これは、
2³¹-1 = 2147483647
と言う大きな数になり確認するのは手計算では不可能ですが、これもコンピュータを使って確かめると素数である事が分かります。
実は 31 は3番目のメルセンヌ素数で、2147483647は8番目です。
この8桁の数が素数と初めて確認されたのは、1750年で数学者レオンハルト・オイラーによるものだそうです。万歳。（？）
それでは、自然な疑問として 2^2147483647-1 はどうでしょうか？
これは危険です。現在まだこれについては研究者の間でも素数なのかどうなのか確認が取れていません。それ以前に、普通のパソコンでは数字として表示する事が出来るかどうかも怪しいぐらいに大きな数です。
しかし、研究も今、2^230,402,456-1の検算をやっているぐらいですので数年の間もなく確認が取れるんでないかと思います。ちなみに、2^230,402,456-1は9,152,052桁の数字だそうです。
それから、31は29とのペアで5番目の双子素数でもあります。
31 は素数である以外にもこんな性格を持っています。
31 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4
これは初項が1で項比が2の場合の等比数列の5番目の項までの和が31になると言う事です。
初項a、項比rの等比数列の項のi番目までの和の公式はちょっと見難いですがこうでした。
a*(rⁱ-1)/(r-1)
また、2項係数と言う係数を使って以下の様に表す事が出来ます。
31 = C(6,2) + C(5,2) + C(4,2)
ここで、C(n,m)の定義はこうです。
C(n,m) = (n*(n-1)*…*(n-m+1))/(m*(m-1)*…*2*1)
ですから、
31 = 6*5/2*1 + 5*4/2*1 + 4*3/2*1 = 15 + 10 + 6
となるのです。
「これが何か？」と言われそうですが、実はこれは2項係数の性質の1つです。
任意の自然数について、このような分解を与える事が出来ます。それを31で示したのです。
って、事は31の性質ではないですね。ごめんなさい。
最後にもうひとつ、6つの要素を持つ集合を2つの集合に分ける時の分け方の数は31種類です。
{1,2,3,4,5,6}と言う集合を、例えば
{{1},{2,3,4,5,6}}, {{1,2},{3,4,5,6}}, {{1,3}, {2,4,5,6}},,,
とやって2つに分ける方法を列挙していくと、その総数が31個になります。
これは第2種スターリング数と呼ばれる物です。
と言うワケで31歳になったばかりの私は先ず、31と言う数字を味わってみました。
これから1年じっくり味わって過ごしていきたいです。