ある自然数のn乗の1桁目とn+4乗の1桁目

あまり知られていない知識だと思うのだけど、
自然数のn乗数にはこんな性質がある。
「ある自然数のn乗とn+4乗の1桁目は等しい。」
例えば、2で見てみる。
2の1乗は2
2の2乗は4
2の3乗は8
2の4乗は16
2の5乗は32
2の6乗は64
2の7乗は128
2の8乗は256
2の9乗は512
2の10乗は1024
・・・
もうひとつ例えば17の10乗ぐらいも載せておく。
17の10乗は2015993900449
17の11乗は34271896307633
17の12乗は582622237229761
17の13乗は9904578032905937
17の14乗は168377826559400929
17の15乗は2862423051509815793
17の16乗は48661191875666868481
17の17乗は827240261886336764177
17の18乗は14063084452067724991009
17の19乗は239072435685151324847153
・・・
太字にした以外の数字でも法則が成り立っているのが分かると思う。
これは偶然で無く、例に挙げた以外の数字でも確実にこうなっている。
数学的に証明が可能だ。
任意の自然数をaと置き、乗数をnとする。
そして、aⁿとaⁿ⁺⁴を考えるのは自然だろう。
次にアイデアが必要だ。
この2数の1桁目が同じと言うことから、次のように考える。
aⁿ⁺⁴ – aⁿ が10の倍数である。
これが思いつけば、あとは計算問題になる。
興味ある方は是非、後は自力でやってみて欲しい。

とかなんとか書いたところで、実はこの証明には略解がある！
それは数字を総当りでパターンを調べる方法だ。
ある数を何乗したところで1桁目にしか注目していないのだから、
1桁目に影響を与えるのは1桁目しか無いので、数字は一桁の0～9を調べたら十分。
0～9までの数字の1,2,3,4,5乗した時の1桁目は、簡単にこんな表で見る事が出来る。
0: 0 0 0 0 0
1: 1 1 1 1 1
2: 2 4 8 6 2
3: 3 9 7 1 3
4: 4 6 4 6 4
5: 5 5 5 5 5
6: 6 6 6 6 6
7: 7 9 3 1 7
8: 8 4 2 6 8
9: 9 1 9 1 9
すると、一番右の列にも 0～9 が並んでいるのが分かる。
これで証明と言うのは、乱暴に感じる？
多分、これは小学生にも理解出来る。
ところが、上の方法だと、数式をいじらないといけないし、
ある数式が任意の自然数を与えて常に10の倍数である事なんて、
知らない人は簡単には示せない。
しかし、数字を10進法だけでなくて任意のx進法に拡張するとしたらどうだろう？
私は両方の証明に価値があると感じる。
拡張性なら断然、前の証明法だし、
万人向けの説明とすれば間違い無く後の証明法だ。
前の記事に続いて、なんとなく数学の事を書きたくなったので、書いてみた。